-> Авторефераты
Диденкулова Ирина Игоревна

Динамика длинных волн в прибрежной зоне моря с приложением к морским катастрофам

Тип диссертации: Докторская
дата публикации: 22.07.2013 | дата защиты: 17.12.2013

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из наиболее важных задач динамики волн в прибрежной зоне моря является адекватное описание процесса наката волн на берег, решение которой необходимо для жизнедеятельности населения в прибрежных районах. Особенно разрушительными оказываются длинные волны, такие как цунами и штормовые нагоны, проникающие вглубь побережья значительно дальше ветровых волн. В случае цунами задача адекватной оценки высот волн цунами на берегу усложняется ограничением на время выдачи прогноза, поскольку в вычислительном плане расчеты набегания волн на берег требуют такого же времени, как и расчеты распространения цунами через весь океан. Поэтому крайне важно иметь наборы параметрических формул, позволяющих проводить экспресс-оценки высоты волн цунами на берегу по минимальным данным о волнах цунами в открытом океане.

Для описания динамики длинных волн в прибрежной зоне моря используется нелинейная теория мелкой воды и ее различные обобщения. Обзор имеющихся аналитических решений в этой проблеме представлен, например, в (Стокер, 1959; Пелиновский, 1996; Левин, Носов, 2005). В случае плоского откоса подобная задача имеет строгое аналитическое решение, полученное с помощью преобразования годографа. Основым приложением этой задачи является расчет характеристик волн цунами на берегу, что имеет непосредственное практическое применение в службах оповещения о цунами. Поскольку формы волн цунами разнообразны, то данный подход активно используется в течение последних 25 лет для различных форм падающей волны. В рассмотренных случаях падающая волна представляла собой как одиночную волну: солитон, Гауссов или Лоренцев импульс, N-волну, так и периодическую волну: синусоидальную, кноидальную. При таком многообразии расчетных формул особенно важно выявить определяющие параметры, которые отвечают непосредственно за дальность затопления и на основе которых может осуществляться параметризация расчетных формул для характеристик наката. Такая параметризация особенно важна для оценки разрушительной силы цунами, поскольку форма подходящей к берегу волны цунами, как правило, неизвестна. Не менее важна и параметризация донных профилей и рельефов, которые также отличаются многообразием в прибрежной зоне моря. В экспериментальном плане накат длинных волн на берег изучался, большей частью, в лабораторных условиях, что позволило проверить теоретические модели (Yeh et al., 1996). Между тем, специальный натурный эксперимент по накату длинных волн на берег, ввиду его сложности, еще вообще не проводился, и литературные данные ограничиваются только накатом океанской зыби (Raubenneimer et al., 2001). Говоря о цунами, следует помнить и о явлениях локального характера, которыми являются цунами оползневого происхождения, а также цунами в реках и озерах, в частности, цунами 1597 года в Нижнем Новгороде, вызванное сходом Печерского монастыря, и цунами 1996 года в озере Карымское (Камчатка), вызванное извержением подводного вулкана. Их моделирование необходимо для прогнозирования возможных катастроф во внутренних водоемах, где обычно опасностью цунами пренебрегают.

В последнее десятилетие с развитием водного транспорта появилась новая категория больших (~200 м длиной) и быстроходных паромов, зачастую движущихся по мелководью со скоростями ~65 км/ч и приводящих к интенсивной абразии берегов. Параметры волн от таких паромов (высота до 2 м и период до 40 с) достаточно близки к параметрам цунами, вызванных оползнями. Поэтому их изучение важно как само по себе - для прогнозирования последствий и защиты берегов, так и для понимания динамики длинных волн в прибрежной зоне.

Не менее опасными по разрушениям и по числу жертв являются так называемые «волны-убийцы» - аномально высокие ветровые волны, неожиданно возникающие на водной поверхности (Kharif et al., 2009). Недавно стало ясно, что подобные волны могут возникать также и вблизи берега, и на берегу, где из-за бóльшей плотности населения и активного использования прибрежных районов они приводят к катастрофическим последствиям. Механизмы возникновения таких волн сильно отличаются от глубоководных. Из-за уменьшения роли дисперсии глубоководный механизм модуляционной неустойчивости не работает в прибрежной зоне, зато нелинейное взаимодействие волн, а также их усиление и фокусировка на разных донных геометриях становятся первостепенными в формировании волн-убийц вблизи берега. Береговые и прибрежные волны-убийцы стали исследоваться относительно недавно, и работы, как теоретические, так и экспериментальные, проводимые в этой области, являются актуальными и оригинальными исследованиями. Из всего приведенного вытекает необходимость и актуальность исследований, выполненных в настоящей диссертации.

Цели диссертации:

Основной целью данной диссертации является разработка физико-математических моделей морских катастроф в прибрежной зоне. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

• получение аналитических решений теории мелкой воды;

• проведение лабораторных экспериментов для их подтверждения и определения их области применимости;

• анализ данных натурных экспериментов и реальных событий, а также их моделирование;

• приложение полученных результатов к морским катастрофам.

Научную новизну работы составляют положения, выносимые на защиту:

Разработаны физико-математические модели нелинейных волн в прибрежной зоне моря с приложением к морских катастрофам, которые подтверждены лабораторными и натурными экспериментами. В частности:

• Получены новые зависимости для характеристик наката длинных волн различной формы (включая как одиночные и периодичные волны, так и нерегулярное волнение) в бухтах с различным донным рельефом, как для одномерного, так и двумерного распространения волн. Получены оценочные формулы для дальности затопления берега во время релаксации водной поверхности после штормовых сгонно-нагонных явлений. Обоснована роль "безотражательных" донных рельефов, ведущих к аномальному усилению волн вблизи берега.

• Предложены новые механизмы возбуждения волн-убийц на берегу, связанные с нелинейным взаимодействием падающих и отраженных волн. Показано теоретически и подтверждено экспериментально, что нелинейность увеличивает вероятность появления волны-убийцы на берегу. Экспериментально обнаружены две группы мелководных волн-убийц в прибрежной зоне Балтийского моря, отличающиеся коэффициентом усиления.

• Создан первый каталог волн-убийц.

• Предложен метод физического моделирования динамики оползневых цунами в прибрежной зоне моря с помощью судовых волн, что позволяет проводить крупномасштабные исследования этих волн в безопасных и контролируемых условиях. Подтверждено, что судовые волны приводят к значительному воздействию на берег. Экспериментально обнаружено, что совместное действие двух разнесенных по спектру систем волн может привести к формированию устойчивого берегового профиля, близкого по форме к безотражательному пляжу

• Получены новые аналитические решения для волн, возбуждаемых движением оползня переменной массы (что до этого вообще не учитывалось), двигающегося с переменной скоростью в бассейне переменной глубины; получены условия резонансного возбуждения таких волн.

• Собраны данные о цунами и цунамиподобных явлениях в российских реках и озерах. Выполнено оделирование цунами, вызванного извержением подводного вулкана в озере Карымское (Камчатка) 2-3 января 1996 г., позволившее объяснить данные наблюдений.

Достоверность и обоснованность основных результатов. Обоснованность полученных теоретических результатов вытекает из использования современного математического аппарата механики жидкости и теории волн (теория Римановых инвариантов, преобразование годографа, автомодельные решения, аппарат функций Грина) и сопоставления получаемых решений с уже известными в литературе и с экспериментальными натурными и лабораторными данными. Кроме того, выполнены специальные эксперименты для проверки основных выводов диссертации. Хорошее согласие между результатами численных расчетов и натурными данными также свидетельствует об обоснованности полученных результатов.

Практическая значимость. Полученные теоретические результаты по исследованию наката длинных волн на берег направлены на адекватную оценку последствий природных катастроф (штормовые нагоны, цунами, волны-убийцы, судовые волны) в прибрежной зоне и на берегу, что может быть использовано в различных задачах прогноза и при планировании строительства береговой инфраструктуры и защитных сооружений. В частности, полученные экспресс-оценки высоты и скорости волн цунами на берегу могут быть использованы в системе оповещения о цунами. Статистическая информация о появлении волн-убийц на берегу и вероятность их возникновения также могут быть использованы при разработке рекомендаций, направленных на увеличение безопасности в прибрежной зоне. Отметим, что полученные аналитические решения могут использоваться для тестирования численных программ и определения точности вычислений. Полученные результаты используются в российских и международных исследовательских проектах (РФФИ, ФЦП, грант Президента РФ, ИНТАС, и др.), выполняемых под руководством автора диссертации.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации были представлены на многочисленных всероссийских и международных конференциях, таких как Научная школа "Нелинейные волны" (Нижний Новгород: 2008), Int. Conf. "Solitons, Collapses and Turbulence: achievements, developments and perspectives" (Академгородок: 2009, 2012), ежегодная ассамблея Европейского Геофизического Союза (EGU, Вена, Австрия: 2006, 2007, 2009-2013), ежегодная ассамблея Международного Союза Геодезии и Геофизики (IUGG, Перуджия, Италия: 2007; Мельбурн, Австралия: 2011), Int. Coastal Symposium (Лиссабон, Португалия: 2009; Щецин, Польша: 2011; Плимут, Англия: 2013), Int. Tsunami Symposium (Новосибирск: 2009), конференция "Волны-убийцы 2008" (Брест, Франция: 2008), Workshop по волнам-убийцам (Дрезден, Германия: 2011), Int. Ocean and Polar Engineering Conference (Родос, Греция: 2012), Int. Conference “Solutions to Coastal Disasters (Гавайи, США: 2008) и др. Результаты диссертации также докладывались на семинарах в Институте прикладной физики РАН и Нижегородском государственном техническом университете (Нижний Новгород), в Российском государственном гидрометеорологическом университете (Санкт-Петербург), а также в ведущих научных организациях, таких как Норвежский метеорологический институт и Det Norske Veritas (Норвегия), Массачусетский технологический институт, Корнельский университет и Океанографический институт Вудс-Холл (США), Университетский колледж Лондона, Национальный институт геофизики и вулканологии (Италия) и др. За исследования в области природных катастроф диссертант была удостоена медали Плиния (Plinius Medal, 2010) Европейского Геофизического Союза (ЕГС), она является научным секретарем направления «Морские катастрофы» ЕГС.

Публикации и вклад автора.

Основные положения диссертации представлены в шестидесяти семи публикациях, включая 4 обзора, 54 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК, 4 статьи в книгах ведущих мировых издательств, 1 статью в рецензируемом журнале и 4 статьи в рецензируемых трудах конференций. В большинстве теоретических и экспериментальных работ автору принадлежит основная роль на всех этапах проведения исследований. В теоретических работах автору принадлежит проведение теоретических и численных расчетов, написание статей, участие в постановке задачи и обсуждении результатов. В экспериментальных работах ‒ это постановка задачи, участие в проведении эксперимента, обработке данных, анализе результатов и их обсуждении и написание статей. В нескольких работах, посвященных численному моделированию, соискатель участвовала в постановке задачи, обсуждении результатов, сравнении расчетных данных с теорией и экспериментальными измерениями и написании статей.

Благодарности.

Автор выражает бесконечную благодарность своему учителю и научному консультанту - профессору, лауреату Государственной премии Ефиму Наумовичу Пелиновскому. Автору приятно поблагодарить своих коллег из Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева и Института прикладной физики РАН, а также всех соавторов за сотрудничество и помощь.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из Введения, 4 глав и Заключения. В работе содержится 179 рисунков и 18 таблиц. Список цитированной литературы насчитывает 316 источников, из них 200 ‒ иностранных. Общий объем диссертации составляет 309 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описывается основная проблематика работы, обосновывается ее актуальность, формулируются цели и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, новизна и практическая значимость.

В первой главе изучается нелинейная динамика длинных волн в прибрежной зоне в океане переменной глубины. Одним из важных приложений динамики длинных волн является задача наката волн на берег, которая определяет дальность затопления берега во время различных стихийных бедствий. Известно, что дальность затопления во многом определяется рельефом дна, поэтому в этой главе рассмотрены различные формы бухт и береговых откосов и изучены особенности их волновой динамики. В §1.2 исследован накат различных типов волн на плоский откос в рамках нелинейной теории мелкой воды

где H = h(x) + η – полная глубина бассейна, η – колебания водной поверхности, h = αx – переменная глубина океана, α – угол берегового склона, u – скорость течения, g – гравитационное ускорение, x – координата, направленная к берегу, t – время.

Система нелинейных гиперболических уравнений (1) допускает строгое аналитическое решение с помощью преобразования годографа и римановых инвариантов, которое подробно рассмотрено в диссертации. Опишем здесь некоторые случаи наката волн различной формы (семейство колоколообразных импульсов, асимметричная периодическая волна, нерегулярное волнение).

В качестве семейства колоколообразных импульсов рассмотрены подходящие к берегу импульсы следующей формы:

где H0 – высота падающей на берег волны, T – ее период, а n = 2, 3, 4, … 20. Показано, что выражения для максимальной высоты наката Rнакат и глубины отката Rоткат этих волн, также как для максимальной скорости наката Uнакат и отката Uоткат волн, и для параметра обрушения Br, характеризующего режим наката волн на берег, могут быть параметризованы, если определить длительность волны λs по уровню 2/3 от амплитуды волны (понятие значительной волны в океанологии). В этом случае различия в численных коэффициентах для максимальной высоты наката и глубины отката не превышают 8% (рис. 1) и характеристики наката длинных волн на берег могут быть параметризованы:

Здесь L – это расстояние, которое проходит волна до берега.

Рис. 1. Рассчитанные коэффициенты в (3)-(4) для максимальной высоты наката μR+ и глубины отката μR– для синусоидальных импульсов (треугольники), солитонов (ромбы) и лоренцевых импульсов (круги).

В качестве модели асимметричной (нелинейно деформированной) волны использовалась риманова волна при ее движении на ровном участке дна с постоянной глубиной h0. В этом случае первоначально синусоидальная волна малой, но конечной амплитуды на любом расстоянии от источника до ее обрушения может быть описана рядом Бесселя-Фубини

где τ(x) – безразмерное время движения волны по ровному участку, Jn – функции Бесселя первого рода. Времена t и τ нормированы на частоту падающей волны ω, а амплитуды гармоник An(x) – на первоначальную амплитуду синусоидальной волны a, s(x) –локальная крутизна волны, нормированная на начальная крутизну s0 = 2πa/λ.

Рис. 2. Связь высоты наката (сплошная) и глубины отката (штриховая линия) с крутизной переднего склона волны, значки (кружки и ромбы) отвечают экспериментальным данным.

Показано, что глубина отката слабо зависит от крутизны переднего склона волны, меняясь не более чем на 30%, и для нее оценки, сделанные по формулам монохроматической волны, являются удовлетворительными (рис. 2). Высота же наката, напротив, сильно зависит от крутизны переднего склона волны, стремясь к бесконечности для ударной волны (бора) в рамках данной модели (на самом деле, обрушение ограничивает высоту волны на берегу). Приближенно, эту кривую можно аппроксимировать корневой зависимостью

Полученная зависимость (6) была также проверена экспериментально в Большом волновом канале Университета Ганновера (рис. 2). В качестве нерегулярного волнения было рассмотрено случайное стационарное поле волн. В этом случае удалось получить явную связь между статистическими характеристиками наката в линейной и нелинейной задачах. Показано, что все статистические моменты скорости подвижного уреза не меняются из-за нелинейности, и, следовательно, одноточечное вероятностное распределение сохраняется. В частности, если падающая волна представляет собой нормальный (гауссов) процесс, то скорость подвижного уреза также описывается гауссовым распределением. В случае наката нерегулярных волн с узким спектром все статистические моменты колебаний уреза (среднее <r>, дисперсия σr, асимметрия λ3 и эксцесс λ4) выражаются через единственный безразмерный параметр Brσ, схожий с параметром обрушения Br, но который здесь для случайного волнения выражен через дисперсию вертикального смещения в точке х = 0 в линейной задаче σR:

Видно, что нелинейность волнового поля в зоне наката всегда приводит к подъему среднего уровня воды на берегу (явление set-up). Природа этого явления часто связывается с обрушением морских волн, однако здесь мы показали, что даже при подходе длинных необрушенных волн уровень воды в среднем на берегу поднимается. Нелинейность волновых процессов в зоне наката уменьшает дисперсию вертикальных колебаний уровня воды на урезе. Отличие коэффициентов асимметрии и эксцесса от нуля свидетельствует о негауссовости вертикальных колебаний подвижного уреза при накате нерегулярных волн. Асимметрия и эксцесс положительны при Brσ < 0.5, что обычно интерпретируется как увеличение вероятности появления больших волн «положительной» полярности или гребней. Эти соображения активно используются для интерпретации частоты появления волн-убийц в поле ветровых волн при его моделировании.

Несмотря на то, что плоский откос наиболее популярен в теоретических и лабораторных исследованиях, форма природных донных профилей зачаcтую отличается от линейного, и в §1.3 изучена динамика волн вдоль некоторых выпуклых донных профилей:

Такие береговые профили могут образовываться в системах, подверженных влиянию сразу двух (коротковолновых и длинноволновых) систем волн. В частности, пляжи такой формы были обнаружены нами в Балтийском и Карибском морях. В рамках линейной теории мелкой воды показано, что волны вдоль таких профилей могут распространяться без отражения на большие расстояния, что ведет к их аномальному усилению. В частности, для профиля дна h(x) ~ x4/3 решение уравнений мелкой воды для колебаний уровня моря описывается следующим выражением (бегущая волна):

которое имеет тот же вид, что и приближенное ВКБ-решение, но при этом не накладывается условие плавности изменения дна (здесь для определенности константы интегрирования выбраны в точке x0, которой соответствует глубина h0, а f(t) описывает форму волны на глубине h0). Амплитуда А(х) в (10) представляет собой не что иное, как классический закон Грина 4 / 1~ −h A , описывающий усиление волн в прибрежной зоне. Подчеркнем еще раз, что полученное решение является точным, и оно соответствует бегущей волне с переменной амплитудой и фазой.

Аналогичная ситуация наблюдается и при распространении волны в узких бухтах и каналах. В этом случае существует семейство соответствующих донных геометрий, которые допускают "безотражательное" распространение волн. Семейство таких геометрий для бухт U-образной формы с поперечным сечением z ~ |y|m найдено в §1.4 (здесь y0, x0, h0 –постоянные параметры):

В предельном случае ∞ → m , который соответствует каналу прямоугольного сечения или одномерной задаче, когда отсутствует зависимость от координаты y, (11) 13 переходит в (9). Степень при х в (11) меняется монотонно от 0 ( 0 → m ) до 4/3 ( ∞ → m ). Таким образом, в продольном направлении канала «безотражательные» донные профили могут быть, как вогнутыми ( 2 < m ), так выпуклыми ( 2 > m ), или иметь постоянный наклон ( 2 = m ) в зависимости от формы поперечного сечения канала. Разница между профилями для каналов с 1 ≥ m относительно мала, и такие профили могут быть аппроксимированы берегом постоянного уклона. В то же время профили с 1 < m меняются сильно, и особенно сильно для 1 << m . Отметим также, что такая форма бухт и подводных каньонов достаточно часто встречается в природе. В качестве примеров в диссертации приводятся профили Согне-фьорда - самого длинного фьорда Норвегии и Скриппс каньона в Калифорнии (США). В качестве приложений к проблеме цунами в §4.4 изучается аномальный накат в U-образной бухте Паго-Паго во время цунами 2009 г. на Самоа и в V-образной бухте Коборинаи во время катастрофического Японского цунами 2011 г. Смещение водной поверхности в таких бухтах имеет вид

и, как и ранее, соответствует безотражательному распространению волн. Таким образом, волна, распространяясь вдоль таких донных геометрий, способна переносить свою энергию на большие расстояния и испытывает отражение только непосредственно от берега. В приложении к волнам цунами, это означает, что волна обрушивает всю свою энергию на берег, что, в свою очередь, приводит к аномальному усилению и аномальным заплескам.

Рис. 3. Трансформация N-волны во времени и в пространстве при ее распространении в канале параболического сечения с линейным уклоном дна.

Нами показано, что безотражательное распространение волн возможно и в строго нелинейной задаче и реализуется в узкой бухте параболической формы с линейным наклоном дна. В этом случае волны распространяются с укручением переднего фронта аналогично тому, как это происходит при распространении волны в океане постоянной глубины, но при этом амплитуда волны меняется согласно обобщенному (с учетом нелинейности) закону Грина (рис. 3).

Динамика волн в такой «параболической» бухте рассмотрена в §1.5. Нелинейные уравнения мелкой воды в приближении узости бухты (классическое гидравлическое приближение) имеют вид:

где ) (x h и ( ) t x, η - это невозмущенная глубина и смещение водной поверхности вдоль основной оси бухты, и ( ) ) , ( ) ( , t x x h t x H η + = ‒ полная глубина. Как и в §1.2, нелинейные уравнения (13) имеют строгое решение.

Характеристики наката волн в такой бухте могут быть выражены через параметры распространяющейся к берегу волны. В частности, если падающая волна ηin(t) задана далеко от линии уреза, то выражение для колебаний уреза R(t) может быть асимптотически представлено через колебания падающей на берег волны

где τ0 определяет время движения начального возмущения до берега. Выражение (14) в силу его простоты дает большое преимущество в расчетах высоты наката волн на берег по сравнению с плоским откосом. Также из (14) следует еще более сильная зависимость высоты наката от крутизны подходящей волны, чем для плоского откоса, что еще раз подчеркивает важность этого критерия.

В §1.6 рассмотрена релаксация водной поверхности при сгонно-нагонных явлениях, когда из-за сильного ветра, дующего в течение длительного времени, вода уходит от берега и смещается на глубину (штормовой сгон) или, наоборот, подходит к берегу и вызывает наводнение (штормовой нагон). В §1.6 описан процесс восстановления естественного уровня моря после того, как ветер внезапно затихает, и поток воды движется к берегу (штормовой сгон) или от берега (штормовой нагон). В частности, для начальной формы водной поверхности, соответствующей штормовому сгону воды и определяемой двумя параметрами, зависящими от расстояния до уреза 0 x и начальной крутизны водной поверхности q

показано, что уровень максимального затопления является достаточно устойчивой характеристикой по отношению к изменениям формы начального возмущения и зависит только от горизонтального масштаба сгонно-нагонных явлений:

В то же время на длительность затопления влияют оба параметра q и x0. Экстремальные значения скорости уреза также зависят от обоих параметров q и x0. Получено условие обрушения волны в процессе релаксации. Для плавного (без обрушения) подтопления берега при штормовом сгоне воды максимальная крутизна водного фронта должна быть более чем в два раза меньше крутизны берегового склона, что не всегда реализуется на очень пологих пляжах:

Во второй главе изучаются мелководные и прибрежные волны-убийцы и особенности их возбуждения. В §2.2 представлены собранные нами данные о возникновении волн-убийц в Мировом океане с 2006 по 2010 гг. Всего за 5 лет было выявлено 131 описание потенциальных волн-убийц, из которых 78 событий были выделены как достоверные. Самое большое число волн-убийц зарегистрировано на берегу ‒ 50% (39 событий) и на мелководье на глубине до 50 м ‒ 38.5% (30 событий), а остальные 11.5% (всего 9 событий) ‒ на глубокой воде. Это соотношение может быть результатом большой заселенности берегов и более активного судоходства на мелководье. С другой стороны, большая плотность населения в прибрежной зоне увеличивает риск волны-убийцы. Согласно рис. 4, число пострадавших и погибших на мелководье и на берегу исключительно велико. Всего за 2006-2010 гг. 131 человек погиб и 196 было ранено. Помимо этого 7 кораблей утонуло, и 19-ти был нанесен ущерб. 79 человек было убито волнами-убийцами на мелководье и 46 на берегу.

Рис. 4. Ущерб от волн-убийц в 2006-2010 гг.

Число пострадавших в целом имеет такое же соотношение: 90 на мелкой воде и 79 на берегу. Для сравнения отметим, что число людей, погибших от глубоководных волн-убийц, значительно меньше: 6 погибших и 27 пострадавших. Эти статистические данные согласуются с представлением, что прибрежные волны-убийцы более опасны и потенциально более разрушительны, чем глубоководные (Akhmediev, Pelinovsky, 2010). Повреждение кораблей тоже чаще всего происходит в прибрежной зоне. В то 16 время как на мелкой воде было зарегистрировано 7 утонувших и 14 поврежденных судов, число происшествий на глубокой воде равно 5.

В §2.3 и §2.4 обсуждаются механизмы формирования волн-убийц. В последнее время установилось мнение, что основным механизмом возбуждения волн-убийц в океане является модуляционная неустойчивость, а нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения - основной моделью для их описания. В §2.3 на основе имеющихся данных каталога волн-убийц мы анализируем возможность формирования этих волн за счет модуляционной неустойчивости. Оказалось, что генерация волн-убийц за счет механизма модуляционной неустойчивости может происходить на глубинах до 20 м, при меньших глубинах вклад модуляционной неустойчивости в формирование волн-убийц маловероятен (рис. 5).

Рис. 5. Разделение волн-убийц критерием модуляционной неустойчивости с учетом глубины воды.

Здесь же обсуждается, как меняются параметры волн-убийц, вызванных механизмом модуляционной неустойчивости, с уменьшением глубины. Показано, что в бассейне конечной глубины пакет волн-убийц становится шире и содержит большее число опасных индивидуальных волн по сравнению с глубокой водой, что также косвенно подтверждено наблюдениями. В результате волна-убийца на мелководье более опасна, чем на глубокой воде.

§2.4 посвящен механизмам образования прибрежных волн-убийц за счет взаимодействия волн с берегом в узких заливах и каналах, подробно рассмотрен накат случайных волн на вертикальную стенку и в заливе с линейно меняющимся дном. Показано, что в обоих случаях нелинейность влияет на характеристики волн на берегу и их воздействие на берег. В первом случае (при накате на вертикальную стенку) она увеличивает вероятность появления волны-убийцы (рис. 6а), а во втором (при накате на наклонный берег) ‒ увеличивает длительность затопления (рис. 6б).

Рис. 6. Вероятность превышения экстремальных колебаний водной поверхности на стенке для различных значения параметра 0.2 = ε (штриховая), 0.4 (точечная) и 0.6 (штрих-пунктирная линия); сплошная линия соответствует распределению Рэлея (а). Плотность вероятности колебаний подвижного уреза для Brs = 0 (сплошная), 0.3 (штриховая) и 0.6 (штрих-пунктирная линия) (б).

Для подтверждения теоретических результатов о накате случайного поля на наклонный берег, полученных в §1.2 и §2.4, были проведены соответствующие эксперименты в волновых каналах университета Уорвика и университета Ганновера, которые обсуждаются в §2.5. Экспериментально показано, что увеличение нелинейности поля приводит к смещению функции распределения осцилляций подвижного уреза в сторону б όльших значений - повышению среднего уровня воды на берегу (рис. 7) и к "затянутости" хвоста распределения, что говорит об увеличении длительности наводнения. Показано, что число волн-убийц на берегу всегда больше, чем в падающем поле, что подтверждает предыдущие выводы о повышенной вероятности появления волны-убийцы на берегу. Также показано, что увеличение амплитуд падающего поля приводит к увеличению обрушения волн, что ведет к уменьшению количества волн-убийц.

Рис. 7. Связь среднего уровня моря с параметром обрушения Brσ, пунктирная линяя соответствует (7), а крестики и кружки - экспериментальным значениям поля падающей волны и поля наката.

Исследовалось влияние узкополосности поля падающих на берег волн на возбуждение волн-убийц. Показано, что число волн-убийц в поле наката тем больше, чем уже спектр падающих волн. Поскольку число измерений волн-убийц на мелкой воде очень ограничено, то полученные автором диссертации натурные измерения, проведенные в течение 203 часов в прибрежной зоне Балтийского моря на глубине 2.7 м, представляют особый интерес. Анализ волн-убийц, измеренных при различных метеорологических условиях, приведен в §2.6.

Всего было зарегистрировано 97 волн-убийц. Показано, что большая часть волн (63%) имела положительную форму, 19.5% ‒ знакопеременную и 17.5% ‒ отрицательную, групп волн зарегистрировано не было. Показано, что измеренные волны-убийцы могут быть разделены на две группы в зависимости от коэффициента усиления их высоты. Коэффициент усиления группы I, которая включает в себя большинство волн-убийц, меняется от 2.0 до 2.4 и не зависит от значительной высоты волн Hs, в то время как коэффициенты усиления группы II могут достигать 3.1 и имеют ярко выраженную зависимость от Hs (рис. 8).

Рис. 8. Коэффициент усиления в зависимости от значительной высоты волн для знакопеременных (квадраты), отрицательных (круги) и положительных (крестики) волн-убийц.

Показано, что коэффициенты усиления волн-убийц первой группы можно рассматривать как случайную выборку обобщенного распределения Парето с постоянными параметрами. Также показано, что измеренные волны-убийцы происходят чаще при Hs, равном 20-25 см. Интересно, что почти все волны-убийцы группы II произошли именно в этом или близком диапазоне Hs. Предполагается, что возможный механизм возбуждения этих волн-убийц ‒ это дисперсионная фокусировка, что подтверждено наличием дисперсионного следа в их частотно-временном спектре. В третьей главе рассмотрена динамика волн от быстроходных судов, движущихся со скоростями, близкими к критическим (число Фруда~1), в прибрежной зоне моря, и вызываемые ими эффекты. В §3.2 в рамках нелинейных уравнений Буссинеска на основе реальных данных о траекториях и скоростях быстроходных судов в Таллинском заливе Балтийского моря проведено моделирование вызванных ими волн. Корабль моделировался локализованным возмущением давления.

Результаты расчетов сопоставлены с экспериментально измеренными записями колебаний уровня моря, сделанными на расстоянии 2.5-3 км от фарватера на глубине 2.7 м (рис. 9).

Рис. 9. Сопоставление измеренных и рассчитанных судовых волн для данных а) 29 июня; б) 5 июля; глубина виртуальных мареографов указана на рисунках.

Видно, что рассчитанные и измеренные записи достаточно хорошо согласуются между собой. Таким образом, используемая модель позволяет достоверно (качественно и количественно) описать особенности удаленного поля корабельных волн. Показано, что параметры генерируемых кораблем волн особенно чувствительны к особенностям режима навигации и локальной батиметрии. Неточность в описании этих особенностей может привести к заниженной на порядок оценке высоты волн. Результаты показывают большую изменчивость волновых цугов вблизи берега. При этом существует как пространственная изменчивость цугов для каждой отдельной траектории, так и изменчивость самих траекторий.

В §3.3 на основе экспериментальных данных изучается усиление и накат судовых волн на берег как для индивидуальных волн, так и для усредненных характеристик. Показано, что существует четкая корреляция между зарегистрированной высотой волн и высотой их наката на берег. Однако соотношение между высотой наката и параметрами каждой отдельной волны довольно сложное, и волны, принадлежащие к разным частям волнового цуга, накатываются на берег по-разному. Особое внимание уделено структуре цуга судовых волн. Показано, что распределение Вейбулла является адекватной моделью для описания распределения высот волн и соответствующих высот наката как в общем случае, так и для разных паромов в отдельности (рис. 10). Оба параметра распределения Вейбулла для высот корабельных волн могут быть рассчитаны из распределения Глуховского для ветровых волн в мелком море (Глуховский, 1966), и эти оценки хорошо согласуются с данными измерений.

В §3.4 с помощью спектрально-временного анализа проводится исследование спектральных особенностей волн от различных быстроходных судов. Этот подход дает существенно новый взгляд на природу судовых волн и предоставляет возможность более последовательно и точно оценить их возможное воздействие на берег.

Рис. 10. Усредненное распределение высот волн в цуге судовых волн; красная линия соответствует распределению Рэлея с σ = 0.12 м, а черная - распределению Вейбулла с (σ,q) = (0.16 м, 1.53) (а). Соответствующее усредненное распределение высот наката волн; красная линия соответствует распределению Рэлея с σ = 0.38 м, черная – распределению Вейбулла с (σ,q) = (0.56 м, 2.77) (б).

Основные его преимущества заключаются в возможности: а) явного выделения судовых волн на фоне ветрового волнения (рис. 11), б) распознавания и раздельного рассмотрения различных длинноволновых структур в рамках одного волнового пакета даже если их амплитуды меньше амплитуд фоновых ветровых волн (рис. 11), в) раздельного рассмотрения различных составляющих судового сигнала и изучения их воздействия на берег и г) сопоставления сигналов от различных судов и, следовательно, возможность определения характерных свойств, присущих тому или иному судну (рис. 11).

Рис. 11. Спектрограммы цугов волн от парома "Star" а) 8 июля, б) 10 июля и в) 12 июля 2008 г., сделанные на о.Аэгна.

Показано, что качественные спектральные характеристики сигналов от одних и тех же или близких по параметрам судов в каком-либо пункте устойчивы при условии, что корабль движется по одному и тому же маршруту с примерно такой же скоростью. Это хорошо видно на рис. 11, где показаны спектрограммы нескольких сигналов от парома "Star", зарегистрированных на о. Аэгна 8, 10 и 12 июля 2008 г. при разных метеоусловиях. Эта особенность открывает новые возможности и позволяет проводить последовательный анализ отдельных компонент системы судовых волн и определять их независимое воздействие на прибрежные экосистемы и береговые сооружения.

Воздействие этих волн на берег и реакция берега на цуги длинных сильно нелинейных судовых волн в Таллинском заливе обсуждается в §3.5 на основе экспериментальных данных, полученных с двух пляжей, расположенных в различных частях залива. Показано, что реакция изначально неравновесного аккумуляционного пляжа на судовые волны может сильно отличаться от реакции изначально равновесного пляжа. В случае неравновесного аккумуляционного пляжа на о. Аэгна корабельные волны привели к обильному переносу достаточно крупных осадочных пород от берега. В случае же равновесного пляжа Пикакари показано, что под воздействием и корабельных, и ветровых волн возможен как приток, так и отток наносов. Однако под воздействием ветровых волн объем песка меняется, но, в основном, только в приурезовой области. В то же время корабельные волны в случае равновесного пляжа приводят к значительной его перестройке и перераспределению песка внутри широкого участка береговой и прибрежной зоны, не создавая при этом транспорта наносов с глубины и на глубину. Также для равновесного пляжа Пикакари обнаружено наличие экстремально устойчивого выпуклого берегового профиля, простирающегося от зоны наката до глубин около 1/2 от глубины замыкания. При этом типичный показатель степени b ≈ 1.3 для этого профиля соответствует профилю с b = 4/3 (рис. 12), допускающему безотражательное распространение волн (см. §1.3). Распространение волн вдоль такого профиля обычно сопровождается их аномальным усилением и накатом, что, соответственно, приводит к большим гидродинамическим нагрузкам на берег.

Рис. 12. Распределение b для всех измеренных береговых профилей (белые столбцы) и только утренних профилей (закрашенные столбцы), которое аппроксимировано распределением Гаусса штриховой и сплошной линиями соответственно.

В §3.6 проводится сопоставление основных характеристик и физических параметров длинных нелинейных волн, вызванных прохождением быстроходных паромов, с соответствующими параметрами волн цунами, вызванных оползнями средних и малых размеров, и обсуждается возможность физического моделирования динамики оползневых цунами в прибрежной зоне с помощью выделенной категории судовых волн. Показано, что почти все ключевые параметры распространения, трансформации (числа Рейнольдса и Урселла, параметры дисперсии и нелинейности) и наката волн (параметр Ирибаррена и параметр обрушения) от быстроходных паромов соответствуют параметрам оползневых цунами. Наибольшее сходство между корабельными волнами и волнами цунами наблюдается при описании их динамики в прибрежной зоне и на берегу. В четвертой главе рассмотрены как теоретические аспекты динамики волн цунами, так и некоторые недавние реальные события, соответствующие случаям аномальной высоты наката волн на берег. В §4.2 и §4.3 проводится аналитическое исследование динамики длинных волн, вызванных оползнем. Получены новые аналитические решения возбуждения волн цунами оползнем переменного объема, движущимся с переменной скоростью в различных бухтах переменной глубины (такие задачи ранее вообще не рассматривались в литературе). Система уравнений мелкой воды для узких бухт и заливов может быть сведена к неоднородному волновому уравнению

где zb(x,t) – функция, описывающая движение оползня вдоль оси x и постоянная в поперечном сечении бухты. При этом будем считать, что рельеф бухт меняется согласно (11). В результате, после замены переменных уравнение (18) может быть сведено к неоднородному волновому уравнению с постоянными коэффициентами, общее решение которого может быть представлено в виде интеграла Дюамеля. В частности, если оползень переменной массы движется с переменной скоростью ) ( ) ( ) , ( t Fr Z A t zb ⋅ − = τ τ τ , где Fr – число Фруда, то волновое поле находится в явном виде

Полученная формула позволяет исследовать возможные волновые режимы, как докритические, так и суперкритические. Показано, что в случае резонанса (Fr = 1) волновое поле может быть ограничено, в то время как на постоянной глубине резонанс приводит к неограниченному возрастанию амплитуды волны.

Рис. 13. Волны цунами, вызванные оползнем, в V-образной (а) и прямоугольной (б) бухтах в докритическом (сплошная) и суперкритическом (штриховая линия) режимах.

Конкретные расчеты выполнены для типичных параметров оползня, и проведен сравнительный анализ параметров генерируемых цунами в бухтах различной формы (рис. 13). Рассмотрены три различные формы бухт: V-образная, U-образная и прямоугольного сечения. Показано, что амплитуды возбужденных волн цунами зависят от формы бухты.

Так, резонансные волны, распространяющиеся от берега, больше в бухтах прямоугольного сечения, в то время как амплитуда волны, бегущей к берегу, растет сильнее в V-образной бухте. Естественно, что в некоторый момент движения оползня в бассейне переменной глубины скорость оползня может сравняться со скоростью длинных волн, что может привести к резонансному усилению цунами. Прохождение через резонанс подробно исследуется для бухт различной формы. Показано, что резонансные эффекты в узких бухтах могут привести к более чем 3-кратному усилению начальной амплитуды волны. Обнаружено, что на небольшом расстоянии от начального положения оползня амплитуды цунами больше в бухтах с более пологими краями (бухты V-образной формы), в то время как на больших расстояниях ‒ в бухтах с более крутыми краями (бухты с прямоугольным сечением).

Особое внимание уделяется возможному усилению волн цунами за счет резонансных эффектов при разных предположениях относительно его объема (постоянный, уменьшается или растет). Такие эффекты ранее вообще еще не рассматривались аналитически. Показано, что в случае нарастающего объема оползня амплитуда цунами тоже нарастает, но медленнее, чем в бассейне постоянной глубины. При постоянном объеме оползня амплитуда цунами тоже стремится к некоторому постоянному значению, которое зависит от формы бухты. Если же объем оползня уменьшается существенно, то амплитуда волн цунами меняется немонотонно, и ее максимум зависит от формы бухты.

В §4.4 изучается усиление волн цунами в узких бухтах. В частности, проведено моделирование аномального наката в бухте Паго-Паго (о. Тутуила, Американское Самоа) во время цунами на Самоа 29 сентября 2009 г. и в порту Коборинаи (Япония) во время Японского цунами 11 марта 2011 г. Оценка высот наката в бухте Паго-Паго во время цунами на Самоа 2009 г. проведена с помощью двух схематических моделей аппроксимации ее донного рельефа: плоского откоса и узкой бухты. Показано, что модель узкой бухты более реалистично демонстрирует усиление волны и, как следствие, дает более правдоподобные оценки для характеристик наката волн на берегу. Характер обрушения цунами и скорости потока на берегу, рассчитанные по формулам для узкой бухты, также находятся в согласии с данными наблюдений.

Рис. 14. Вертикальное смещение уровня воды (линии уровня) и результирующая скорость (векторы), показывающие распространение цунами в узкой долине.

Накат волн в порту Коборинаи во время Японского цунами 2011 г. исследован численно в рамках трехмерной полно-нелинейной дисперсионной модели FLOW3D, основанной на уравнениях Навье-Стокса, с использованием подробной батиметрии и топографических данных. Максимальный накат для всей расчетной области составил 34.33 м, что близко к измеренному значению 37.49 м в этой точке (рис. 14). В ходе численных результатов продемонстрирована необходимость учитывать трехмерные негидростатические эффекты для волн на крутых склонах. По мере того, как волна поднималась вдоль склона, вертикальные скорости достигали 3 м/с и более. Таким образом, для прогноза характеристик цунами на крутых склонах и для оценки цунами риска в особо опасных районах, подверженных цунами, необходимо использовать трехмерные негидростатические модели.

В §4.5 в рамках длинноволновой модели типа Буссинеска проводится моделирование распространения волн цунами в озере Карымское на Камчатке, которое произошло 2-3 января 1996 г. и было вызвано подводным взрывным извержением вулкана Карымский (максимальная высота наката 30 м). Рассчитанные максимумы амплитуд волн цунами вблизи берега в целом соответствуют измеренным высотам наката волн на берегу. Скорость головной группы волн ограничена локальной глубиной и достигает максимального значения (24 м/с) в самой глубокой части озера. Основные характеристики и структура головной группы волн качественно не изменяются при масштабировании амплитуды, как это показано для расчетов при η 0 = 0.23 м, η 0 = 0.46 м и η 0 = 2.3 м. Проведено сопоставление результатов расчетов с полуэмпирической формулой для источника (Le Mehaute, 1971), описывающей высоты волн на удаленном расстоянии от источника извержения. Показано, что, в целом, рассчитанные волны близки к оцененным по формулам (Le Mehaute, 1971), за исключением волн, распространяющихся в западном направлении, где волны распространяются вдоль береговой линии. Предполагается, что формулы (Le Mehaute, 1971) справедливы на больших расстояниях от источника, в данном случае это условие не выполняется ввиду ограниченных размеров озера. Кроме того, используемая аналитическая формула была выведена на основе линейной теории и экспериментальных данных для взрывов малой энергии (Е ~ 2x106–3x1010 Дж), в то время как кинетическая энергия моделируемого извержения Е ~ 2x1012 Дж, что, вероятно, за пределами данной теории. Учитывая эти ограничения, не удивительно, что наблюдается некоторое несоответствие между формулами (Le Mehaute, 1971) и численными результатами.

Рис. 15. Диаграмма рассеяния для измеренных и рассчитанных высот наката.

Сравнение измеренной высоты наката волн и рассчитанных амплитуд волн на некотором расстоянии от берега показывает явную корреляцию для удаленных от источника областей (рис. 15). Модель позволяет отразить нелинейные эффекты, которые важны в прибрежной зоне и вблизи извержения. Рассчитанные высоты наката, как правило, имеют тот же порядок, что и измеренные, за исключением области непосредственно около источника и нескольких точек, в которых наблюдалось сильное обрушение.

Учитывая все вышесказанное, можно утверждать, что такие расчеты адекватны для исследования опасности цунами, вызванных извержениями вулканов. И, наконец, в §4.6 приведены последние данные о цунами и цунамиподобных явлениях в российских внутренних водоемах. Всего выделено одиннадцать достоверных или почти достоверных событий за период 1597–2012 гг. Фактически за последние два столетия цунами во внутренних водоемах России возникали в среднем раз в 20 лет. Отметим, что цунами во внутренних водоемах возбуждаются теми же источниками, что в морях и океанах: землетрясениями, оползнями, вулканическими извержениями. Землетрясения и оползни ответственны за бóльшую часть событий (по пять событий), и одно из них возникло в результате извержения подводного вулкана. География цунамиподобных явлений представлена на рис. 16.

Рис. 16. Места наблюдения цунамиподобных явлений на территории России.

Пять событий случились в Европейской части России и шесть – в Сибири и на Дальнем Востоке. Особый интерес для нас представляют цунами на Волге, в районе Нижнего Новгорода, вероятность возникновения которых отнюдь не ничтожна (четыре достоверных события на реке Волга). Все это указывает на необходимость оценки опасности цунами для этих регионов и информирования населения о возможных последствиях пребывания на берегах водоемов.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. В рамках нелинейной теории мелкой воды исследован накат различных симметричных волн колоколообразной формы на пляж постоянного уклона. Для этого случая получены параметрические зависимости для характеристик наката длинных волн на берег: для максимальной высоты наката и глубины отката, максимальной скорости наката и отката и параметра обрушения, что позволило исключить в экспресс-оценках влияние формы подходящей волны, обычно неизвестной. Также исследован накат асимметричной волны с более крутым передним фронтом. Показано, что высота наката возрастает с увеличением крутизны волны. Водный поток при этом проникает на побережье дальше и с большей скоростью, чем при накате монохроматической волны. Этот результат подтвержден экспериментально в волновом канале.

2. Исследован накат случайного волнения на плоский откос. Показано, что статистика вертикальных колебаний подвижного уреза при накате поля длинных волн с гауссовой статистикой отличается от гауссовой, в то время как поле скоростей наката остается гауссовым. Показано, что коэффициенты асимметрии и эксцесса для поля колебаний подвижного уреза положительны, что следует интерпретировать как увеличение продолжительности (во времени) стадии наката волн на берег по сравнению с продолжительностью стадии отката. Показано, что средний уровень моря повышается при накате нерегулярных волн пропорционально параметру обрушения, что дает дополнительные аргументы в пользу увеличения продолжительности затопления побережья по сравнению со временем его осушения. Последний результат подтвержден экспериментально в волновом канале.

3. В рамках нелинейной теории мелкой воды исследована динамика волн в наклоненном канале параболического сечения. Получено точное решение задачи Коши, выраженное в элементарных функциях, для начального возмущения водной поверхности произвольной формы и нулевой скорости. Показано, что высота наката волн на берег в наклоненном канале параболического сечения пропорциональна производной от формы падающей на берег волны, что ведет к еще более сильной зависимости от асимметрии падающей волны, чем в случае плоского откоса и, соответственно, к более сильным заплескам. Этот эффект используется для объяснения аномального усиления и заплеска волн в бухте Паго-Паго во время цунами на Самоа 2009 г. Получено условие обрушения волн в канале в рамках нелинейной теории мелкой воды. Показано, что условие обрушения имеет универсальный характер и совпадает с соответствующим условием обрушения для плоского откоса; первое обрушение всегда происходит на стадии отката. 28

4. Исследован процесс релаксации водной поверхности после штормовых сгонно-нагонных явлений. Показано, что уровень максимального затопления является достаточно устойчивой характеристикой по отношению к изменениям формы начального возмущения и зависит только от горизонтального масштаба сгонно-нагонных явлений. В то же время на длительность наводнения влияют и горизонтальный масштаб, и форма начального возмущения воды, в частности, крутизна переднего фронта. Показано, что чтобы избежать обрушения при штормовом сгоне воды, максимальная крутизна водного фронта должна быть более чем в два раза меньше уклона берегового склона, что может быть проблематичным на очень пологих пляжах.

5. В рамках теории мелкой воды показано, что при определенных законах изменения донного рельефа, как в одномерном, так и в двумерном случаях, возможно безотражательное распространение волн (отсутствие распределенного отражения от донного профиля), которое приводит к аномальному усилению волн в прибрежной зоне. Волна распространяется без отражения и отражается только непосредственно от берега. Это свойство, характерное для всех "безотражательных" геометрий, ведет к аномальному усилению волн вблизи берега и на берегу. Вдоль всего пути распространения, за исключением непосредственной окрестности уреза, амплитуда волны меняется по закону Грина.

6. Собраны и проанализированы данные о волнах-убийцах, произошедших в мире за 5 лет (2006-2010 гг.). Полученный каталог включил 78 событий, которые были отобраны как достоверные. Показано, что самое большое число волн-убийц зарегистрировано на берегу – 50% (39 событий) и на мелководье – 38.5% (30 событий), а остальные 11.5% (всего 9 событий) – на глубокой воде. При этом 64 % из всех прибрежных волн-убийц произошли на берегозащитных стенках и отвесных береговых откосах и только 36 % – на плавных пляжах. На основе данных каталога волн-убийц проведен анализ возможности возбуждения волн-убийц в океане конечной глубины за счет механизма модуляционной неустойчивости. Показано, что модуляционная неустойчивость играет важную роль в формировании волн-убийц вплоть до переходной глубины, равной 20 м, на глубинах меньше 20 м вклад модуляционной устойчивости в формирование волн-убийц маловероятен. На основе решений нелинейного уравнения Шредингера в 29 бассейне переменной глубины показано, что с уменьшением глубины воды пакет волн-убийц становится шире и содержит большее число индивидуальных волн по сравнению с глубокой водой, что также подтверждено наблюдениями.

7. Теоретически исследовано возбуждение волн-убийц в рамках нелинейной теории мелкой воды. Показано, что волны-убийцы в нелинейных гиперболических системах появляются только в результате нелинейного взаимодействия волн. Подробно рассмотрено два примера таких взаимодействий: (а) накат римановых волн на вертикальную стенку, (б) накат случайных волн в канале с линейно меняющимся дном. Показано теоретически и подтверждено экспериментально в волновом канале, что в обоих случаях нелинейность увеличивает вероятность появления волны-убийцы, что хорошо согласуется с данными наблюдений. Экспериментально показано, что прибрежные волны-убийцы чаще образуются в поле волн с узкополосным спектром, что может быть объяснено так называемым эффектом N-волны. Также показано, что увеличение амплитуд волн ведет к увеличению частоты их обрушения, что приводит к понижению вероятности образования волн-убийц.

8. Проведен анализ волн-убийц, зарегистрированных в течение 203 часов в прибрежной зоне Балтийского моря (глубина 2.7 м). В общей сложности было зарегистрировано 97 событий при различных метеорологических условиях. Показано, что большая часть волн (63%) имела положительную форму, 19.5% – знакопеременную и 17.5% – отрицательную, аномальных групп волн зарегистрировано не было. Показано, что измеренные волны-убийцы можно разделить на две группы, отличающиеся коэффициентом усиления. Коэффициент усиления группы I, которая включает в себя большинство волн-убийц, меняется от 2.0 до 2.4 и не зависит от значительной высоты волн sH . В то же время коэффициенты усиления группы II могут достигать 3.1 и имеют ярко выраженную зависимость от sH . Показано, что коэффициенты усиления волн-убийц первой группы можно рассматривать как случайную выборку обобщенного распределения Парето с постоянными параметрами. Предполагается, что возможный механизм возбуждения этих волн-убийц группы II – это дисперсионная фокусировка, что подтверждено наличием дисперсионного следа в их частотно-временном спектре. 30

9. Показано, что численная модель, основанная на уравнении Буссинеска, позволяет достоверно (качественно и количественно) описать особенности удаленного поля судовых волн в мелком море и приводит к достоверным оценкам структуры и высот корабельных волн в прибрежной зоне даже на расстоянии в несколько километров от фарватера. Показано, что параметры генерируемых волн особенно чувствительны к особенностям режима навигации и локального донного рельефа. Неточность в описании этих особенностей может привести к заниженной на порядок оценке высоты волн. Продемонстрирована большая изменчивость цугов корабельных волн вблизи берега. При этом существует как пространственная изменчивость цугов для каждой отдельной траектории, так и изменчивость самих траекторий. Предложен метод физического моделирования динамики оползневых цунами в прибрежной зоне моря и на берегу с помощью длинных волн от быстроходных паромов. Показано, что почти все основные параметры распространения, трансформации и наката длинных и высоких волн, возбуждаемых быстроходными паромами, движущимися со скоростями, близким к критическим, соответствуют параметрам оползневых цунами.

10. Экспериментально исследована изменчивость берегов под совместным воздействием двух различных систем волн (судовых и ветровых), разнесенных по спектру в условиях бесприливного Финского залива. Показано, что бóльшая длина судовых волн, а также угол подхода этих волн к берегу, отличный от угла падения естественного ветрового волнения, могут привести к существенным изменениям локальной системы "абразия-аккумуляция наносов", что в случае изначально неравновесного аккумуляционного пляжа ведет к обильному выносу достаточно крупных осадочных пород на глубину. В случае же равновесного пляжа показано, что под воздействием и корабельных, и ветровых волн возможен как приток, так и отток наносов. Однако под воздействием ветровых волн объем песка меняется только в приурезовой области, в то время как корабельные волны приводят к значительной перестройке берега и перераспределению песка внутри широкого участка береговой и прибрежной зоны, не создавая при этом транспорта наносов с глубины и на глубину. Экспериментально обнаружено, что совместное действие ветровых и судовых волн может привести к формированию экстремально устойчивого выпуклого берегового профиля, простирающегося от 31 зоны наката до глубин около 1/2 от глубины замыкания и имеющего форму, максимально приближенную к безотражательному пляжу h ~ x4/3. Распространение волн вдоль такого профиля обычно сопровождается их аномальным усилением и накатом, что, соответственно, приводит к большим гидродинамическим нагрузкам на берег.

11. Получено аналитическое решение для волн, возбуждаемых движением оползня переменной толщины, движущегося с постоянным числом Фруда. Рассмотрены три различные формы бухт: V-образная, U- образная и прямоугольного сечения, последняя также соответствует одномерному распространению волн. Показано, что амплитуды возбужденных волн цунами зависят от формы бухты. Так, резонансные волны, распространяющиеся от берега, больше в бухтах прямоугольного сечения, в то время как амплитуда волны, бегущей к берегу, растет сильнее в V- образной бухте. Показано, что амплитуда цунами меняется немонотонно во времени и пространстве, что является следствием резонансных эффектов. Ограничивающим фактором выступает постепенное увеличение глубины и ширины бухты, которое приводит к уменьшению высоты волны. Если при постоянной глубине бухты резонанс может привести к бесконечному увеличению амплитуды волны, то в бухте переменной глубины и ширины амплитуда волны ограничена. Показано, что резонансные эффекты в таких бухтах могут привести к более чем 3-кратному усилению начальной амплитуды волны. Показано, что на небольшом расстоянии от начального положения оползня амплитуды цунами больше в бухтах с более пологими краями (бухты V-образной формы), в то время как на больших расстояниях - в бухтах с более крутыми краями (бухты с прямоугольным сечением).

12. Исследовано распространение волн цунами, вызванных извержением подводного вулкана в озере Карымское 2-3 января 1996 г. Показано, что рассчитанные высоты наката, как правило, имеют тот же порядок, что и измеренные, за исключением области непосредственно около источника и нескольких точек, в которых наблюдалось сильное обрушение. Проведено сопоставление результатов расчетов с полуэмпирической формулой для источника (Le Méhauté, 1971), описывающей высоты волн на удаленном расстоянии от источника извержения. Показано, что, в целом, рассчитанные волны близки к оцененным по формулам (Le Méhauté, 1971), 32 за исключением волн, распространяющихся в западном направлении, где волны распространяются вдоль береговой линии.

13. Собраны данные о цунами и цунамиподобных явлениях в российских реках и озерах. Всего за период 1597-2012 гг. выделено одиннадцать событий в различных районах России, так что период их повторения составляет примерно 35-40 лет (за последние 200 лет такого типа цунами возникали примерно раз в 20 лет). Девять событий могут рассматриваться как достоверные. Оползни и землетрясения являются равновероятными источниками цунами (по пять событий), и одно событие вызвано извержением вулкана. Они подтверждают существование риска возникновения цунами во всех водоемах и необходимость информирования об этом населения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Обзоры:

1. Пелиновский, Е.Н. Распространение волн в сильно неоднородной среде / Е.Н. Пелиновский, И.И. Диденкулова // Нелинейные волны 2008 / под ред. А.В. Гапонова, В.И. Некоркина. – Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2009. – C. 191–204.

2. Didenkulova, I. New trends in the analytical theory of long sea wave runup / I. Didenkulova // Applied Wave Mathematics: Selected Topics in Solids, Fluids, and Mathematical Methods / eds.: E. Quak, T. Soomere. – Springer, 2009. – P. 265–296.

3. Didenkulova, I. Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework) / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Nonlinearity. – 2011. – V. 24. – Iss. 3. P. R1-R18.

4. Slunyaev, A. Rogue Waters / A. Slunyaev, I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Contemporary Phys. – 2011. – V. 52. – Iss. 6. – P. 571–590.

Публикации в журналах, включенных в список ВАК и/или входящих в мировые индексы цитирования (SCOPUS, Web of Science):

5. Диденкулова, И. Изменчивость берегового профиля под совместным воздействием судовых и ветровых волн / И. Диденкулова, M. Вишка, Д. Куренной // Фундамент. и приклад. гидрофизика. – 2011. – № 2. – C. 66–78. 33

6. Диденкулова, И.И. Накат нелинейно деформированных волн на берег / И.И. Диденкулова, H. Заибо, A.A. Куркин, Б.В. Левин, Е.Н. Пелиновский, T. Соомере // Доклады Академии Наук. – 2006. – Т. 410. – № 5. – C. 676–678.

7. Диденкулова, И.И. Крутизна и спектр нелинейно деформируемой волны на мелководье / И.И. Диденкулова, Н. Заибо, А.А. Куркин, Е.Н. Пелиновский // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. – 2006. – Т. 42. – № 6. – C. 839-842.

8. Диденкулова, И.И. Отражение длинных волн от «безотражательного» донного профиля / И.И. Диденкулова, Н. Заибо, Е.Н. Пелиновский // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2008. – № 4. – C. 102–108.

9. Диденкулова, И.И. Накат одиночных волн различной формы на берег / И.И. Диденкулова, A.A. Куркин, Е.Н. Пелиновский // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. – 2007. – Т. 43. – № 3. – C. 419–425.

10. Диденкулова, И.И. Резонансное усиление волн цунами при сходе подводного оползня / И.И. Диденкулова, И.Ф. Николкина, Е.Н. Пелиновский // Доклады Академии Наук. – 2011. – T. 436. – № 1. – P. 114–117.

11. Диденкулова, И.И. Накат длинных волн на берег: влияние формы подходящей волны / И.И. Диденкулова, Е.Н. Пелиновский // Океанология. – 2008. – Т. 48. – № 1. – C. 5–10.

12. Диденкулова, И.И. Цунамиподобные явления в российских внутренних водоемах / И.И. Диденкулова, Е.Н. Пелиновский // Фундамент. и приклад. гидрофизика. – 2009. – T. 3. – № 5. – C. 52–64.

13. Диденкулова, И.И. Об отражении длинной волны от подводного склона / И.И. Диденкулова, Е.Н. Пелиновский // Океанология. – 2011. – Т. 51. – № 4. – C. 606–611.

14. Диденкулова, И. Формирование экстремальных волн на мелкой воде с учетом обрушения / И. Диденкулова, E. Пелиновский, A. Родин // Фундамент. и приклад. гидрофизика. – 2012. – Т. 5. – № 1. – C. 89–98.

15. Диденкулова, И.И. Бегущие длинные волны в водных прямоугольных каналах переменного сечения / И.И. Диденкулова, Д.Е. Пелиновский, Д.Ю. Тюгин, А.Р. Гиниятуллин, Е.Н. Пелиновский // Вестник МГОУ, Серия «Естественные науки». – 2012. – № 5. – C. 89–93. 34

16. Диденкулова, И.И. Статистические оценки характеристик наката длинных волн на берег / И.И. Диденкулова, А.В. Сергеева, Е.Н. Пелиновский, С.Н. Гурбатов // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. – 2010. – Т. 46. – № 4. – C. 571–574.

17. Родин, А.А. Взаимодействие уединенных волн большой амплитуды в мелководном бассейне / A.A. Родин, И.И. Диденкулова, Е.Н. Пелиновский // Фундамент. исслед. – 2012. – T. 11. – № 3. – C. 710–714.

18. Beisel, S. The 1956 Greek tsunami recorded at Yafo, Israel, and its numerical modeling / S. Beisel, L. Chubarov, I. Didenkulova, E. Kit, A. Levin, E. Pelinovsky, Yu. Shokin, M. Sladkevich // J. Geophys. Res.–Oceans. – 2009. – V. 114. – Article №: C09002.

19. Choi, B.H. Two- and three-dimensional computation of solitary wave runup on non-plane beach / B.H. Choi, E. Pelinovsky, D.C. Kim, I. Didenkulova // Nonlinear Proc. Geophys. – 2008. – V. 15. – Iss. 3. – P. 489–502.

20. Denissenko, P. Influence of the nonlinearity on statistical characteristics of long wave runup / P. Denissenko, I. Didenkulova, E. Pelinovsky, J. Pearson // Nonlinear Proc. Geophys. – 2011. – V. 18. – Iss. 6. – P. 967–975.

21. Denissenko, P. Experimental statistics of long wave runup on a plane beach / P. Denissenko, I. Didenkulova, A. Rodin, M. Listak, E. Pelinovsky // J. Coast. Res. – 2013. – Iss. 65. – P. 195–200.

22. Didenkulova, I. Nonlinear long-wave deformation and runup in a basin of varying depth / I. Didenkulova // Nonlinear Proc. Geophys. – 2009. – V. 16. – Iss. 1. – P. 23–32.

23. Didenkulova, I. Shapes of freak waves in the coastal zone of the Baltic Sea (Tallinn Bay) / I. Didenkulova // Boreal Env. Res. – 2011.– V. 16. – Suppl. A. – P. 138–148.

24. Didenkulova, I. Tsunami runup in narrow bays: the case of Samoa 2009 tsunami / I. Didenkulova // Nat. Hazards. – 2013. – V. 65. – Iss. 3. – P. 1629–1636.

25. Didenkulova, I. Freak waves of different types in the coastal zone of the Baltic Sea / I. Didenkulova, C. Anderson // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. – 2010. – V. 10. – Iss. 9. – P. 2021–2029.

26. Didenkulova, I. Effect of asymmetry of incident wave on the maximum runup height / I. Didenkulova, P. Denissenko, A. Rodin, E. Pelinovsky // J. Coast. Res. – 2013. – Iss. 65. – P. 207–212. 35

27. Didenkulova, I. Rogue waves in the basin of intermediate depth and the possibility of their formation due to the modulational instability / I. Didenkulova, I. Nikolkina, E. Pelinovsky // JETP Lett. – 2013. – V. 97. – Iss. 4. – P. 221–225.

28. Didenkulova, I. Tsunami waves generated by submarine landslides of variable volume: analytical solutions for a basin of variable depth / I. Didenkulova, I. Nikolkina, E. Pelinovsky, N. Zahibo // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. – 2010. – V. 10. – Iss. 11. – P. 2407–2419.

29. Didenkulova, I. Shoaling and runup of long waves induced by high-speed ferries in Tallinn Bay / I. Didenkulova, K. Parnell, T. Soomere, E. Pelinovsky, D. Kurennoy // J. Coast. Res. – 2009. – Iss. 56. – P. 491–495.

30. Didenkulova, I. Phenomena similar to tsunami in Russian internal basins / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Russ. J. Earth Sci. – 2006. – V. 8. – Iss. 6. – Article №: ES6002.

31. Didenkulova, I. Non-dispersive traveling waves in strongly inhomogeneous water channels / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Phys. Lett. A. – 2009. – V. 373. – Iss. 42. – P. 3883–3887.

32. Didenkulova, I. Traveling water waves along a quartic bottom profile / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Proc. Estonian Acad. Sci. – 2010. – V. 59. – Iss. 2. – P. 166–171. 33. Didenkulova, I. Runup of tsunami waves in U-shaped bays / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Pure Appl. Geophys. – 2011. – V. 168. – Iss. 6–7. – P. 1239–1249.

34. Didenkulova, I. Nonlinear wave evolution and runup in an inclined channel of a parabolic cross-section / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Phys. Fluids. – 2011. – V. 23. – Iss. 8. – Article №: 086602.

35. Didenkulova, I. Nonlinear wave effects at the non-reflecting beach / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Nonlinear Proc. Geophys. – 2012. – V. 19. – Iss. 1. – P. 1–8.

36. Didenkulova, I. Analytical solutions for tsunami waves generated by submarine landslides in narrow bays and channels / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Pure Appl. Geophys. – 2013. – DOI: 10.1007/s00024-012-0510-8.

37. Didenkulova, I. Nonlinear interaction of large-amplitude unidirectional waves in shallow water / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, A. Rodin // Estonian J. Eng. – 2011. – V. 17. – Iss. 4. – P. 289–300. 36

38. Didenkulova, I. Statistical characteristics of long waves nearshore / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, A. Sergeeva // Coast. Eng. – 2011. – V. 58. – Iss. 1. – P. 94–102.

39. Didenkulova, I. Exact travelling wave solutions in strongly inhomogeneous media / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere // Estonian J. Eng. – 2008. – V. 14. – Iss. 3. – P. 220–231.

40. Didenkulova, I. Run-up characteristics of tsunami waves of “unknown” shapes / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere // Pure Appl. Geophys. – 2008. – V. 165. – Iss. 11–12. – P. 2249–2264.

41. Didenkulova, I. Long surface wave dynamics along a convex bottom / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere // J. Geophys. Res. – Oceans. – 2009. – V. 114. – Article №: C07006.

42. Didenkulova, I. Can the waves generated by fast ferries be a physical model of tsunami? / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere // Pure Appl. Geophys. – 2011. – V. 168. – Iss. 11. – P. 2071–2082.

43. Didenkulova, I. Beach profile change caused by vessel wakes and wind waves in Tallinn Bay, the Baltic Sea / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere, K. Parnell // J. Coastal Res. – 2011. – Iss. 64. – P. 60–64.

44. Didenkulova, I. A typical wave wake from high-speed vessels: its group structure and run-up / I. Didenkulova, A. Rodin // Nonlinear Proc. Geophys. – 2013. – V. 20. – Iss. 1. – P. 179–188.

45. Didenkulova, I. Characteristic properties of different vessel wake signals / I. Didenkulova, A. Sheremet, T. Torsvik, T. Soomere // J. Coast. Res. – 2013. – Iss. 65. – P. 213-218.

46. Didenkulova, I. Freak waves in 2005 / I. Didenkulova, A. Slunyaev, E. Pelinovsky, Ch. Kharif // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. – 2006. – V. 6. – Iss. 6. – P. 1007–1015.

47. Didenkulova, I. Formation of two-section cross-shore profile under joint influence of random short waves and groups of long waves / I. Didenkulova, T. Soomere // Mar. Geol. – 2011. – V. 289. – Iss. 1–4. – P. 29–33.

48. Kim, D.C. Three-dimensional tsunami runup simulation for the port of Koborinai on the Sanriku coast of Japan / D.C. Kim, K.O. Kim, E. Pelinovsky, I. Didenkulova, B.H. Choi // J. Coast. Res. – 2013. – Iss. 65. – P. 266–271. 37

49. Kurennoy, D. On the crest-trough asymmetry of waves generated by high-speed ferries / D. Kurennoy, I. Didenkulova, T. Soomere // Estonian J. Eng. – 2009. – V. 15. – Iss. 3. – P. 182–195.

50. Nikolkina, I. Rogue waves in 2006 – 2010 / I. Nikolkina, I. Didenkulova // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. – 2011. – V. 11. – Iss. 11. – P. 2913–2924.

51. Nikolkina, I. Catalogue of rogue waves reported in media in 2006–2010 / I. Nikolkina, I. Didenkulova // Nat. Hazards. – 2012. – V. 61. – Iss. 3. – P. 989–1006.

52. Nikolkina, I. Wave climate in Lake Peipsi / I. Nikolkina, T. Soomere, I. Didenkulova // J. Coastal Res. – 2013. – Iss. 65. – P. 2035–2040.

53. Parnell, K. Far-field vessel wakes in Tallinn Bay / K. Parnell, N. Delpeche, I. Didenkulova, T. Dolphin, A. Erm, A. Kask, L. Kelpsaite, D. Kurennoy, E. Quak, A. Räämet, T. Soomere, A. Terentjeva, T. Torsvik, I. Zaitseva-Pärnaste // Estonian J. Eng. – 2008. – V. 14. – Iss. 4. – P. 273–302.

54. Soomere, T. Implications of fast ferry wakes for semi-sheltered beaches: a case study at Aegna Island, Baltic Sea / T. Soomere, K. Parnell, I. Didenkulova // J. Coastal Res. – 2009. – Iss. 56. – P. 128–132.

55. Soomere, T. Water transport in wake waves from high-speed vessels / T. Soomere, K. Parnell, I. Didenkulova // J. Marine Syst. – 2011. – V. 88. – Iss. 1. – P. 74–81.

56. Torsvik, T. Variability in spatial patterns of long nonlinear waves from fast ferries in Tallinn Bay / T. Torsvik, I. Didenkulova, T. Soomere, K. Parnell // Nonlinear Proc. Geophys. – 2009. – V. 16. – Iss. 2. – P. 351–363.

57. Torsvik, T. Numerical simulation of a tsunami event during the 1996 volcanic eruption in Karymskoye lake, Kamchatka, Russia / T. Torsvik, R. Paris, I. Didenkulova, E. Pelinovsky, A. Belousov, M. Belousova // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. – 2010. – V. 10. – Iss. 11. – P. 2359–2369.

58. Zahibo, N. Steepness and spectrum of nonlinear deformed shallow water wave / N. Zahibo, I. Didenkulova, A. Kurkin, E. Pelinovsky // Ocean Eng. – 2008. – V. 35. – Iss. 1. – P. 47–52.

Публикации в других рецензируемых журналах:

59. Диденкулова, И.И. Цунами 1806 года в Козьмодемьянске на Волге / И.И. Диденкулова, A.И. Зайцев, E.H. Пелиновский // Мор. гидрофизич. журн. – 2007. – Т. 17. – № 1. – C. 73–76. 38

Публикации в книгах ведущих мировых издательств:

60. Didenkulova, I. Runup of long irregular waves on a plane beach / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, A. Sergeeva // Extreme Ocean Waves / eds. E. Pelinovsky, Ch. Kharif. – Springer, 2008. – P. 83–95.

61. Didenkulova, I. Runup of nonlinear asymmetric waves on a plane beach / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere, N. Zahibo // Tsunami and Nonlinear Waves / ed. A. Kundu. – Springer, 2007. – P. 175–190.

62. Pelinovsky, E. Analysis of tide-gauge records of the 1883 Krakatau tsunami / E. Pelinovsky, B.H. Choi, A. Stromkov, I. Didenkulova, H. Kim // Tsunamis: case studies and recent developments / ed. K. Satake. – Springer, 2005. – P. 57–78.

63. Zahibo, N. Extreme Waves Generated by Cyclones in Guadeloupe / N. Zahibo, I. Nikolkina, I. Didenkulova // Extreme Ocean Waves / eds. E. Pelinovsky, C. Kharif. – Springer, 2008. – P. 161–179.

Публикации в рецензируемых трудах конференций:

64. Didenkulova, I. Wave run-up on a vertical wall in a bay of a parabolic cross-section / I. Didenkulova, Sh. Chatraee, E. Pelinovsky // Proc. IEEE/OES Baltic 2012 Int. Symp. – Klaipeda, 2012. – DOI: 10.1109/BALTIC.2012.6249220.

65. Didenkulova, I. Resonant generation of tsunami waves by submarine landslides in fjords / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Proc. XXII Int. Offshore Polar Eng. (ISOPE) Conf. – Rhodos, 2012. – V. 3. – P. 138–144.

66. Didenkulova, I. Statistics of shallow water rogue waves in Baltic Sea conditions: the case of Tallinn Bay / I. Didenkulova, A. Rodin // IEEE/OES Baltic 2012 Int. Symp. – Klaipeda, 2012. – DOI: 10.1109/BALTIC.2012.6249221.

67. Nikolkina, I. River landslides in Nizhny Novgorod region and a possibility of local tsunami generation / I. Nikolkina, I. Didenkulova // IEEE/OES Baltic 2012 Int. Symp. – Klaipeda, 2012. – DOI: 10.1109/BALTIC.2012.6249159. 39

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глуховский, Б.Х. Исследование морского ветрового волнения / Б.Х. Глуховский. – Л.: Гидрометеоиздат, 1966. – 284 с.

2. Левин, Б.В. Физика цунами / Б.В. Левин, М.А. Носов. – М.: Янус-К, 2005. – 360 с.

3. Пелиновский, Е.Н. Гидродинамика волн цунами / Е.Н. Пелиновский. – Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996. – 276 c.

4. Стокер, Дж. Волны на воде / Дж. Стокер. – Москва: ИЛ, 1959. – 617 c.

5. Akhmediev, N. Rogue waves – towards a unifying concept? / eds. N. Akhmediev, E. Pelinovsky // Eur. Phys. J. – Special Topics. – 2010. – V. 185, –№. 1.

6. Kharif, C. Rogue Waves in the Ocean / C. Kharif, E. Pelinovsky, A. Slunyaev // Berlin: Springer-Verlag, 2009. – 216 p.

7. Le Mehaute, B. Theory of explosion-generated water waves / B. Le Mehaute // Ad-vances in Hydroscience / ed. V. Te Chow. – NY: Academic Press, 1971. – V. 7. – P. 1–79.

8. Raubenneimer, B. Field observations of wave-driven setdown and setup / B. Raubenneimer, R.T. Guza, S. Elgar // J. Geophys. Res. – 2001. – V. 106. – Iss. C3. – P. 4639–4638.

9. Yeh, H. Long-Wave Runup / H. Yeh; eds. Ph.L-F. Liu, C. Synolakis// Singapore: World Sci., 1996. – 403 p.

Наверх